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素数是什么意思(1~20以内的素数)

这是一系列关于数论的介绍性文章,目的在于推广数学知识,拓展读者的数学思维。至于为什么用图文而不是视频?图文有三个优越性:一是图文数据量小,节省学习时间;二是有助于个人主动思考;三是文字里的关键字,可以方便读者查阅相关资料。


有多少个素数呢?我们已知存在无穷多个素数,也存在无穷多个合数,哪个更多?尽管这两种数都有无穷多个,我们仍可使用计数函数比较它们。


首先,从能说明基本思想的比较容易的问题着手,拿偶数来试验、发现规律,直觉告诉我们近一半数是偶数。通过观察偶数计数函数



需要将这种直觉建立在坚实的基础之上,上述E(x)表示不超过x的正偶数个数,


例如,


E(3) = 1,E(4) = 2, E(5) = 2,...,E(100) = 50,E(101) = 50,...


考察比率E(x)/x:



比率E(x)/x总是等于1/2肯定不成立,但是当x很大时, E(x)/x接近于1/2是成立的。如果了解一点微积分知识,你会意识到我们在设法说明



这个陈述恰说明x越来越大时E(x)/x与1/2间的距离越来越接近于0。


对素数做相同的事情。素数计数函数被称为:



例如= 4,这是因为小于10的素数是2, 3,5,7。下表给出了(x)与比率n(x)/x的值。


x


10


50


100


200


500


1000


5000



4


15


25


46


95


168


669



0.400


0.300


0.250


0.230


0.190


0.168


0.134


似乎x越来越大时n(x)/x越来越小,假设这种模式继续下去,我们会说“大多数整数不是素数”,这就进一步提出n(x)/x以怎样的速度减小的问题。下述著名结果给出答案,它是19世纪数论取得的最高成就之一。


定理 (素数定理)当x很大时,小于x的素数个数近似等于x/In(x),即


In(x)(称为x的自然对数)是以e=2.718 2818…为底x的对数。下面是比较n(x)与x/In(x)值的表:


x


10


100


1000






4


25


168


1229


78498


50847534



4.34


21.71


144.76


1085.74


72382.41


48254942.43



0.921


1.151


1.161


1.132


1.084


1.054


简史 大约在1800年通过检查类似的但比较短的表,高斯与勒让德独立地提出素数定理成立的猜想,几乎过去一个世纪还没有人加以证明。1896年阿达马(Jacques Hadamard)与Ch. dela vallée Poussin各自努力去证明素数定理。正如狄利克雷定理的证明要用复分析方法(即复变函数论)一样,在1948年埃德斯(Paul Erdös)与塞尔伯格(Atle Selberg)发现了素数定理的“初等”证明,他们的证明是初等的仅指不需要复分析方法,并不意味着容易。


使人有点惊讶的是证明有关整数的定理,如狄利克雷定理与素数定理,数学家不得不使用微积分作为工具,被称为解析数论的数学分支专用微积分方法证明数论定理。


表格在发现规律时的重要性。


有许多著名的涉及素数的未解问题,我们在此叙述三个这样的问题及其简史。


猜想 (哥德巴赫猜想) 每个偶数可表示成两个素数之和。


哥德巴赫在1742年7月7日给欧拉的一封信中提出这个猜想,不难验证哥德巴赫猜想对前几个偶数成立,例如,


4 = 2 2, 6 = 3 3, 8 = 3 5, 10 = 3 7, 12 = 5 7,


14 = 3 11, 16 = 3 13, 18 = 5 13, 20 = 7 13,.


这就对直到20的偶数验证了哥德巴赫猜想,使用计算机人们已对以下的偶数验证了哥德巴赫猜想,数学家甚至能够证明与哥德巴赫猜想相似的结论,这是支持哥德巴赫猜想的有力证据。 1937年,维诺格拉朵夫(I. M. Vinogradov)证明了每个充分大的奇数n可表成三个素数之和。1966年,陈景润证明了每个充分大的偶数可表成p a的形式,其中p是素数, a是素数或两个素数的乘积。


猜想 (孪生素数猜想) 存在无穷多个素数p使得p 2也是素数.


素数很不规则,相邻两个素数间常常会有很大的间隙。例如,素数370261之后紧接着111个合数。然而,也有很多素数p紧随另一个素数p 2。这些数对被称为孪生素数。孪生素数猜想说明孪生素数表没有结束,前几个李生素数是(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), (59,61), (71,73),(101,103) (107,109), (137,139), (149,151), (179,181), (191,193),(197,199), (227 ,229), (239,241), (269,271), (281,283), (311,313).


猜想 (N 1猜想) 存在无穷多个形如的素数.


如果N是奇数,则是偶数,所以它不可能是素数(除非N=1)。然而,如果N是偶数,则似乎经常是素数。 猜想说明这种情况无穷次发生,前几个这种形式的素数是


= 5, = 17, = 37, = 101.


总结,


  1. 需要理解图表的重要作用,在图表中发现规律。

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